cho x,y>0 và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(1+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
Cho các số dương x, y thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
Theo bđt Cauchy schwarz dạng Engel
\(P\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{1+1}=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]^2}{2}\)
Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(bđt phụ)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left[2.1+4\right]^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+\dfrac{1}{x}+2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+2y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Cho mình hỏi bạn Nguyễn Huy Tú, hãy giải thích cho mình hiểu về bất đẳng thức Cauchy schawarz (Định lý, chứng minh,..). Đây là lần đầu tiên mình được nghe tên về bất đẳng thức này nên mong bạn giải thích dễ hiểu. Chúc bạn ngày một thành công hơn trong con đường học vấn của mình !
cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2≥y+z .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = \(\dfrac{1}{x^2}\left(y^2+z^2\right)+\dfrac{7x^2}{2}\left(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)+2007\)
Lời giải:
Sửa: $x^2\geq y^2+z^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$P\geq \frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{7x^2}{2}.\frac{4}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{14x^2}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$
$\geq 2+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$ (áp dụng BĐT Cô-si)
$\geq 2+13+2007=2022$ (do $x^2\geq y^2+z^2$)
Vậy $P_{\min}=2022$
Các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = \(\dfrac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Giúp mình với mình cần gấp
Hướng dẫn: đặt \(A=\dfrac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Khi đó \(F-A=x-y+y-z+z-x=0\Rightarrow F=A\)
\(\Rightarrow2F=F+A=\sum\dfrac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)}{4\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow2F\ge\dfrac{x+y+z}{2}\Rightarrow F\ge\dfrac{x+y+z}{4}\)
Cho x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn:
\(x\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+y\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)+z\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=-2\) và x3 + y3 + z3 =1
Tính giá trị của biểu thức P= \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)
Từ \(x\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+y\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)+z\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=-2\) ta có:
\(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\).
Không mất tính tổng quát, giả sử x + y = 0
\(\Leftrightarrow x=-y\)
\(\Leftrightarrow x^3=-y^3\).
Kết hợp với \(x^3+y^3+z^3=1\) ta có \(z^3=1\Leftrightarrow z=1\).
Vậy \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{-y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1}=1\).
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(M=\dfrac{\left|x-y\right|+\left|x+y\right|+\left|xy-1\right|+\left|xy+1\right|}{\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}}\)
Cho \(\left|x\right|\) = \(\left|y\right|\) và \(x< 0\) ; \(y>0\).Tính giá trị của các biểu thức sau:
\(a,x+y\) \(b,\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x\right|=\left|y\right|\\x< 0\\y>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=-x\)
\(\Rightarrow\) \(x+y=x+\left(-x\right)=0\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{0}{xy}=0\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(A=\left(1+x\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\)
với x>0, y>0 thỏa mãn \(x^2+y^2=1\)
Tìm tất cả giá trị \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số:
1/ \(y=\dfrac{2x+m}{x+1}\) trên \(\left[0;1\right]\) bằng 2.
2/ \(y=\left|x^3-3x^2+m\right|\) trên \(\left[0;3\right]\) bằng 5.
3/ \(y=\left|\dfrac{x^2+mx+m}{x+1}\right|\) trên \(\left[1;2\right]\) bằng 2.
4/ \(y=\left|\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{19}{2}x^2+30x+m-20\right|\) trên \(\left[0;2\right]\) không vượt quá 20.
1.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để pt : \(\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-2m\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+1+2m=0\) có nghiệm
2. Giai hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2\left|x\right|+\left|y\right|=1\\\left|x\right|-\left|y\right|=2\end{matrix}\right.\)
Help me
1.
\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2m\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1+2m=0\)
Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)
\(\Rightarrow t^2-1-2mt+2m=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+1\right)-2m\left(t-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+1-2m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\left(loại\right)\\t=2m-1\end{matrix}\right.\)
Pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m-1\ge2\\2m-1\le-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\dfrac{3}{2}\\m\le-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
2.
Cộng vế với vế: \(3\left|x\right|=3\Rightarrow\left|x\right|=1\)
\(\Rightarrow\left|y\right|=-1< 0\) (không thỏa mãn)
Vậy hệ pt vô nghiệm